Кто такой и чем известен евклид: рассказ про древнего математика, его открытия и вклад в науку

Содержание:

В история геометрии Он начинается с первых цивилизаций, которые использовали эту ветвь математики на практике, в частности, народов долины Инда и Вавилона, которые знали тупые треугольники, около 3000 г. до н.э.

В трудах египетского писца Ахмеса (1550 г. до н.э.) использовались методы для вычисления площади круга. Со своей стороны, у вавилонян были общие правила измерения объемов и площадей.

Обе цивилизации, египтяне и вавилоняне, знали версии теоремы Пифагора за 1500 лет до пифагорейских версий. С другой стороны, индейцы ведического периода (1500-100 гг. До н.э.) использовали геометрию при строительстве алтарей.

Геометрия и компьютерная графика

Компьютерная анимация (CGI) преображает сложные природные формы (такие, как лицо) в комплект несложных форм. Так, сложный объект создаётся за счет комбинации несложных объектов и может изменяться в следствии трансформации их геометрии. В базе данной идеи — изучения математиков, например, французско-американского ученого Бенуа Мандельброта, который в 1974 г. продемонстрировал, что естественные формы подчиняются правилам фрактальной размерности (неэвклидова геометрия), а в рамках классической евклидовой геометрии смогут быть измерены только примерно.

Компьютерная графика на основе фракталов Мандельброта

О том как знание математики позволяет заработать на майнинге криптовалюты.

Tags: «Начала» Евклида геометрия история математики

Краткая биография

Биография Евклида до конца не изучена, к примеру, до сих пор неизвестен год рождения. Известно, что он появился на свет в небольшом районе Афин и был платоновским учеником.

Подъем его научной работы пришелся на правление Птолемея Первого. Некоторые сведения о его жизни можно проследить по арабским рукописям и архимедовым письмам к друзьям. Так, по ним можно определить, что Евклид был сыном греческого ученого и жил около Тира в Сирии.

С малых лет получал знания о мире от своего отца, он же привил сыну любовь к естественным наукам, а затем Евклид поступил в школу Платона, где и обучился математическим основам.

Повзрослев, его пригласили в храм Мусейон (по другим данным он был одним из его основателей), в котором собирались видные ученые с поэтами. Тут были классы для занятий. Также храм был заполнен садами с башнями астрономии, помещениями для одиноких размышлений и большой библиотекой.

В Мусейоне он смог открыть школу с лучшими математиками и монументальный труд в области математики, в котором заложил планиметрические основы со стереометрией, теорией чисел, законами алгебры, методами нахождения площадей с объемами и др.

Фрагмент папируса с текстом «Начал» Евклида

Монументальный труд — публикация «Начала». Это серия из 13 книг, представляющая собой обработанные публикации древнегреческих математиков с пятого по четвертый век до нашей эры.

Кроме «Начал», было создано еще одно сочинение — «Данные», в котором были опубликованы основы по геометрическому анализу. Кроме того, александрийский ученый создал учебник, с помощью которого в то время и сейчас изучают астрономию, перспективу, отражение в зеркале, музыкальные интервалы и решают тригонометрические задачи.

Все оставшиеся годы жизни посвятил изучению естественных наук и математических законов, отчего его называют отцом геометрии. О других аспектах его жизни неизвестно до сих пор. Умер в Александрии.

Это интересно: 231,ДУХОВНАЯ КУЛЬТУРА — разбираемся внимательно

XVIII — го века

Г. Саккери — Псевда демонстрация V — й аксиома эксгумировано из забвения истории поддерживающего Beltrami , один из основателей современной дифференциальной геометрии.

XVIII — го  век не сравним с прошлым веком , чтобы рассматривать геометрию. Это период перехода и углубления.

Два величайших математиков века, Эйлера и Лагранжа замечательные геодезисты, а также способствовать развитию евклидовой геометрии (например , углы Эйлера , Эйлера линии , окружности Эйлера …).

Тем не менее, основные изменения геометрии в XVIII — го  века, связаны с тем , механики и связаны с дифференциальной геометрией. Это уточнения идей Лейбница и Ньютона. Клеро ( Исследования кривых двойной кривизны — 1732) изучает уравнения кривых в пространстве, которые теперь называются левыми кривыми. В 1760 году Эйлер опубликовал свое « Исследование кривизны поверхностей» , в котором он показал существование двух основных искривлений и продемонстрировал то, что сейчас называется теоремой Эйлера . Уважаемые ученые, такие как Мёзье или Дюпен, также внесли интересный вклад в фундаментальную работу Эйлера по геометрии поверхностей. Выявлены важные понятия длины дуги кривой, соприкасающейся окружности . Дифференциальные выражения кривизны и кручения левой кривой дается Коши в начале XIX — го  века.

Кроме того, Лежандр опубликовал в 1794 году « Элементы геометрии», которые составляют один из последних великих трактатов по евклидовой геометрии . К несчастью для него, этот ученый верит в доказуемость пятой аксиомы Евклида и дает несколько доказательств, которые, конечно, ложны, хотя и обладают замечательным интеллектом … Основы геометрии, в том числе 5- я  аксиома Евклида, продолжают вдохновлять некоторые математики, такие как Ламберт или Саккери .

К концу века Монж создал особую ветвь геометрии, называемую начертательной геометрией , которая была направлена ​​на то, чтобы помочь инженеру в представлении машин. Правила , разработанные Монжем широко используются на протяжении XIX — го  века , и большая часть XX — го . Они составят теоретическую основу практики промышленного дизайна .

После работы XVII — го и XVIII — го  века геометрия Евклида достигла своего наибольшего развития, но знаменитые геометрические проблемы , унаследованных от античности до сих пор не решены, хотя почти ясно для большинства ученых , что они представляют собой невозможные проблемы, к тому , что с 1775 г. Академия наук решает отказать в рассмотрении адресованных ей предложений квадрата круга.

В конце 18 века мы можем все чаще различать две разные геометрии: геометрия Евклида, который рассуждает о фигурах, называется синтетической геометрией . Геометрические рассуждения в духе Декарта о числах и функциях чисел называются аналитической геометрией. Однако нет никаких сомнений в идентичности материалов, даже если методы различны.

Рекомендации

• А’Кампо, Норберт и Пападопулос, Атанас , (2012) Заметки о гиперболической геометрии , в: Страсбургский мастер-класс по геометрии, стр. 1–182, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, Vol. 18, Цюрих: Европейское математическое общество (EMS), 461 страница, ISBN  978-3-03719-105-7 , DOI: 10.4171 / 105 .
• Андерсон, Джеймс В. Гиперболическая геометрия , второе издание, Springer, 2005 г.
• Бельтрами, Eugenio Teoria fondamentale degli spazî di curvatura costante , Аннали. ди Мат., серия II 2 (1868), 232–255
• Блюменталь, Леонард М. (1980), Современный взгляд на геометрию , Нью-Йорк: Довер, ISBN 0-486-63962-2
• Кэрролл, Льюис Евклид и его современные соперники , Нью-Йорк: Барнс и Ноубл, 2009 (перепечатка) ISBN  978-1-4351-2348-9
• HSM Coxeter (1942) Неевклидова геометрия , University of Toronto Press , переиздано в 1998 году Математической ассоциацией Америки , ISBN  0-88385-522-4 .
• Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии , Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN 0-8247-1748-1
• Джереми Грей (1989) Идеи пространства: евклидово, неевклидово и релятивистское , 2-е издание, Clarendon Press .
• Гринберг, Марвин Джей Евклидова и неевклидова геометрия: развитие и история , 4-е изд., Нью-Йорк: WH Freeman, 2007. ISBN  0-7167-9948-0
• Моррис Клайн (1972) Математическая мысль от древних до наших дней, глава 36, Неевклидова геометрия, стр. 861–81, Oxford University Press .
• Бернард Х. Лавенда , (2012) «Новый взгляд на теорию относительности: одиссея в неевклидовой геометрии», World Scientific , стр. 696, ISBN   .
• Николай Лобачевский (2010) Пангеометрия , переводчик и редактор: А. Пападопулос, Серия «Наследие европейской математики», Vol. 4, Европейское математическое общество .
• Мэннинг, Генри Паркер (1963), Введение в неевклидову геометрию , Нью-Йорк: Дувр
• Мешковский, Герберт (1964), Неевклидова геометрия , Нью-Йорк: Academic Press
• Милнор, Джон В. (1982) , Bull. Амер. Математика. Soc. (NS) Том 6, номер 1, стр. 9–24.
• Ричардс, Джоан Л. (1988), Математические видения: стремление к геометрии в викторианской Англии , Бостон: Academic Press, ISBN 0-12-587445-6
• Смарт, Джеймс Р. (1997), Современная геометрия (5-е изд.) , Pacific Grove: Brooks / Cole, ISBN 0-534-35188-3
• Стюарт, Ян (2001) Флаттерленд , Нью-Йорк: ISBN  издательства Perseus 0-7382-0675-X ( мягкая обложка )
• Джон Стиллвелл (1996) Источники гиперболической геометрии , ISBN Американского математического общества 0-8218-0529-0 . 
• Трюдо, Ричард Дж. (1987), , Бостон: Birkhauser, ISBN 0-8176-3311-1
• A. Papadopoulos et Guillaume Théret (2014) La théorie des parallèles de Johann Heinrich Lambert , (Критическое издание мемуаров Ламбера с французским переводом, с историческими и математическими примечаниями и комментариями — изд. Blanchard, Coll. Sciences dans l’Histoire, Paris ISBN  978-2-85367-266-5

XX — го века

В XX — м  веке, традиционное деление математики в арифметике, алгебре, анализу, геометрии и взорвался, так что само определение того , что можно было бы назвать «геометрия работы» в части предмета для обсуждения.

Сегодня, когда используется слово «геометрия», рекомендуется различать, разрешено ли его использование во множественном числе.

Геометрия в том смысле, в котором это слово все еще присутствует в обычном языке, называется евклидовой геометрией, если мы хотим использовать математический язык, который хоть немного поддерживается. Эта часть математики считается по существу завершенной с точки зрения ее общей теории. В этом смысле, вопросы геометрии возможно падение прикладной математики и не также не глубокие исследований , проведенных в XX — го  века. Однако мы должны исключить вопросы, касающиеся основ аксиоматики евклидовой геометрии.

С другой стороны, согласно выводам программы Клейна, слово «геометрия» также широко используется во множественном числе в современной математике. В этом смысле он на самом деле не охватывает конкретную дисциплину, но, с другой стороны, пронизывает очень большую часть всех современных математических теорий.

Аксиоматика геометрии

После открытия особого характера геометрии Евклида переформулировка аксиом геометрии стала предметом целого ряда замечательных работ. Можно, в частности, процитировать работы Д. Гильберта по основам геометрии.

После Гильберта вопрос об аксиомах, которые необходимо сохранить для основания геометрии, был поднят, в частности, Биркгофом с эргодической теорией как водяным знаком и Тарским ( банаховы пространства конечной размерности ).

Множество методов аксиоматизации геометрии Евклида и неопределенность их полной идентичности ( например, парадокс Банаха-Тарского ) — одна из самых захватывающих загадок современной математики.

Аксиоматическая основа неевклидовой геометрии

Евклидова геометрия может быть описана аксиоматически несколькими способами. К сожалению, первоначальная система пяти постулатов (аксиом) Евклида не входит в их число, так как его доказательства опирались на несколько неустановленных предположений, которые также следовало принять в качестве аксиом. Система Гильберта, состоящая из 20 аксиом, наиболее точно следует подходу Евклида и обеспечивает обоснование всех доказательств Евклида. Другие системы, использующие разные наборы неопределенных терминов, получают ту же геометрию разными путями. Однако все подходы имеют аксиому, которая логически эквивалентна пятому постулату Евклида, постулату параллельности. Гильберт использует форму аксиомы Плейфэра, в то время как Биркгоф , например, использует аксиому, которая гласит: «Существует пара похожих, но не совпадающих треугольников». В любой из этих систем удаление одной аксиомы, эквивалентной постулату параллельности, в какой бы форме она ни принималась, и оставление всех остальных аксиом нетронутыми, дает абсолютную геометрию . Поскольку первые 28 утверждений Евклида (в «Элементах» ) не требуют использования постулата параллельности или чего-либо эквивалентного ему, все они являются истинными утверждениями в абсолютной геометрии.

Чтобы получить неевклидову геометрию, постулат параллельности (или его эквивалент) должен быть заменен его отрицанием . Отрицание формы аксиомы Playfair , поскольку это составное утверждение (… существует один и только один …), можно сделать двумя способами:

• Либо будет существовать более одной прямой, проходящей через точку, параллельную данной прямой, либо не будет никаких прямых, проходящих через точку, параллельную данной прямой. В первом случае, заменяя постулат параллельности (или его эквивалент) утверждением «В плоскости, для данной точки P и прямой l, не проходящей через P, существуют две прямые, проходящие через P, которые не пересекаются с l » и сохраняя все остальные аксиомы дают гиперболическую геометрию .
• Со вторым случаем справиться не так просто. Простая замена постулата параллельности утверждением: «В плоскости, если дана точка P и прямая l, не проходящая через P, все прямые, проходящие через P, пересекаются с l », не дает согласованного набора аксиом. Это следует из того, что параллельные прямые существуют в абсолютной геометрии, но это утверждение говорит об отсутствии параллельных прямых. Эта проблема была известна (в ином виде) Хайяму, Саккери и Ламберту и послужила основанием для их отказа от так называемого «случая тупого угла». Чтобы получить непротиворечивый набор аксиом, включающий эту аксиому об отсутствии параллельных прямых, необходимо изменить некоторые другие аксиомы. Эти корректировки зависят от используемой системы аксиом. Среди прочего, эти настройки имеют эффект модификации второго постулата Евклида от утверждения, что отрезки линии могут быть неограниченно продолжены, до утверждения, что линии не ограничены. Римана «с эллиптической геометрией возникает как наиболее естественной геометрии , удовлетворяющей эту аксиому.

Кинематическая геометрия

Гиперболическая геометрия нашла применение в кинематике с помощью физической космологии, введенной Германом Минковским в 1908 году. Минковский ввел такие термины, как мировая линия и собственное время, в математическую физику . Он понял, что подмногообразие событий в один момент собственного времени в будущем можно рассматривать как гиперболическое пространство трех измерений. Уже в 1890-х годах Александр Макфарлейн рисовал это подмногообразие с помощью своей « и гиперболических кватернионов , хотя Макфарлейн не использовал космологический язык, как Минковский в 1908 году. Соответствующая структура теперь называется гиперболоидной моделью гиперболической геометрии.

Неевклидовы плоские алгебры поддерживают кинематическую геометрию на плоскости. Например, разделенное комплексное число z = e a j может представлять пространственно-временное событие в один момент в будущем в системе отсчета с быстротой a . Кроме того, умножение на z равносильно преобразованию лоренцевского буста кадра с нулевой скоростью в кадр с быстротой а .

Кинематическое исследование использует двойственные числа для представления классического описания движения в абсолютном времени и пространстве : уравнения эквивалентны отображению сдвига в линейной алгебре:
zзнак равноИкс+уϵ,ϵ2знак равно,{\ displaystyle z = x + y \ epsilon, \ quad \ epsilon ^ {2} = 0,}Икс′знак равноИкс+vт,т′знак равнот{\ displaystyle x ^ {\ prime} = x + vt, \ quad t ^ {\ prime} = t}

(Икс′т′)знак равно(1v1)(Икст).{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x ‘\\ t’ \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & v \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ t \ end {pmatrix}}.}

С двойными числами отображение т′+Икс′ϵзнак равно(1+vϵ)(т+Иксϵ)знак равнот+(Икс+vт)ϵ.{\ displaystyle t ^ {\ prime} + x ^ {\ prime} \ epsilon = (1 + v \ epsilon) (t + x \ epsilon) = t + (x + vt) \ epsilon.}

Другой взгляд на специальную теорию относительности как на неевклидову геометрию был предложен Э.Б. Уилсоном и Гилбертом Льюисом в Трудах Американской академии искусств и наук в 1912 году. Они переработали аналитическую геометрию, заложенную в алгебре расщепленных комплексных чисел, в синтетическую геометрию предпосылок. и отчисления.

История развития геометрии

Самые первые понятия в геометрии люди приобрели еще в глубокой древности. Возникала необходимость определять площади участков земли, объемы различных сосудов и помещений и другие практические потребности. Свое начало история развития геометрии, как науки, берет в Древнем Египте около 4 тысяч лет назад. Затем знания египтян позаимствовали древние греки, которые применяли их преимущественно для того, чтобы измерять площади земельных участков.  Именно с Древней Греции берет свое начало история возникновения геометрии, как науки. Древнегреческое слово «геометрия» переводится, как «землемерие».

Греческие ученые  на основе открытия множества геометрических свойств смогли создать стройную систему знаний по геометрии. В основу геометрической науки были положены простейшие геометрические свойства, взятые из опыта. Остальные положения науки выводились из простейших геометрических свойств с помощью рассуждений. Вся эта система была опубликована в завершенном виде в «Началах» Евклида около 300 года до нашей эры, где он изложил не только теоретическую геометрию, но и основы теоретической арифметики. С этого источника также начинается и история развития математики.

Однако в труде Евклида ничего не сказано ни об измерении объема, ни о поверхности шара, ни об отношении длины круга к его диаметру (хотя присутствует теорема о площади круга). История развития геометрии получила продолжение в середине III века до нашей эры благодаря великому Архимеду, который смог вычислит число Пи, а также смог определить способы вычисления поверхности шара. Архимед для решения упомянутых задач применил методы, которые в дальнейшем легли в основу методов высшей математики. С их помощью он уже мог решать трудные практические задачи геометрии и механики, которые были важны для мореплавания и для строительного дела. В частности, он нашел способы определять центры тяжести и объемы многих физических тел и смог изучить вопросы равновесия тел различной формы при погружении в жидкость.

Древнегреческие ученые провели исследования свойств различных геометрических линий, важных для теории науки и практических применений. Аполлоний во II веке до нашей эры сделал много важных открытии по теории конических сечений, которые оставались непревзойденными на протяжении следующих восемнадцати веков. Апполоний применил метод координат для изучения конических сечений. Этот метод в дальнейшем смогли развить только в XVII веке ученые Ферма и Декарт. Но они применяли этот метод только для изучения плоских линий. И только в 1748 году русский академик Эйлер смог применить этот метод для изучения кривых поверхностей.

Система, разработанная Евклидом, считалась непреложной более двух тысяч лет. Однако в дальнейшем история развития геометрии получила неожиданный поворот, когда в 1826 году гениальный русский математик Н.И. Лобачевский смог создать совершенно новую геометрическую систему. Фактически основные положения его системы отличаются от положений геометрии Евклида только в одном пункте, но именно из этого пункта вытекают основные особенности системы Лобачевского. Это положение о том, что сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского всегда меньше 180 градусов. На первый взгляд может показаться, что это утверждение неверно, однако при маленьких размерах треугольников современные средства измерения не дают правильно измерить сумму его углов.

Дальнейшая история развития геометрии доказала правильность гениальных идей Лобачевского и показала, что система Евклида просто неспособна решить многие вопросы астрономии и физики, где математики имеют дело с фигурами практически бесконечных размеров. Именно с трудами Лобачевского уже связано дальнейшее развитие геометрии, а с ней и высшей математики и астрономии.

Из истории геометрии

Подробности

Категория: Геометрия

Документальные учебные фильмы. Серия «Геометрия».

https://vk.com/video_ext.php

 Уже первобытные люди на самой начальной ступени своего развития должны были различать формы окружавших их предметов и замечать места их расположения. Так, они запоминали места охоты, места стоянок и селений. Они постепенно научились определять расстояния между отдельными предметами, размеры отдельных участков местности и т. п. По мере развития общественной жизни людей изучение форм и размеров предметов и их взаимного расположения становилось всё более нужным и требовало от человека всё больших знаний. В древнем Египте весенние разливы огромной реки Нила смывали границы между отдельными земельными участками. Нужно было ежегодно их восстанавливать, что было связано с большими измерительными работами на местности. Чтобы выполнять эти работы, надо было иметь удобные правила для вычисления длин линий, площадей, участков земли, для выполнения планировок местности и т. п. Эти правила были выработаны и записаны. Греки, ведя торговлю с египтянами, познакомились с этими правилами, дополнили их и постепенно развили из них целую науку, которую и назвали геометрией, что значит искусство измерять землю ( — земля, — измерять). Греческий учёный Евклид, живший в III в. до н. э., особенно подробно разработал эту науку и изложил её вместе с арифметикой в одиннадцати книгах, которые он назвал «Начала». По ним и изучали геометрию в последующие века. По образцу этих «Начал» составляются учебники геометрии и до нашего времени.Наблюдая окружающие нас предметы, мы замечаем большое разнообразие их внешнего вида и их свойств. Предметы отличаются один от другого своим видом, весом, свойствами вещества, из которого они состоят, и т. д. Но при всём этом разнообразии можно заметить свойство, присущее всем предметам без исключения, именно: каждый предмет имеет свою форму и свой размер. При изготовлении различных предметов им придают форму и размер, соответствующие их назначению. Артиллерийскому снаряду придают форму, при которой он имеет нужную дальность полёта, кузову корабля—форму, которая даёт ему устойчивое положение на поверхности воды и позволяет легче рассекать волны морской стихии. Далее, мы замечаем, что каждый предмет занимает определённое положение среди других предметов

В практической жизни весьма важно уметь определять расстояние между предметами, размещать их должным образом на нужных расстояниях. Так

на заводах весьма важно правильно расставить станки. На поле боя важно правильно разместить дзоты и наблюдательные пункты, уметь определить местонахождение огневых точек врага, расстояние до его блиндажей и т. п. Изучение форм и размеров предметов и их взаимного положения составляет отдельную область человеческого знания. Наука, изучающая формы, размеры и взаимное расположение предметов, называется геометрией.

 Геометрия, как и многие другие разделы математики, своими корнями уходит в «далекое прошлое. Слово «геометрия» в переводе с греческого означает «землемерие». ‘Такое название объясняется тем, что зарождение этого раздела математики было связано с различными измерительными работами, которые приходилась выполнять при разметке земельных участков, проведении дорог, строительстве зданий и других сооружений. В результате этой деятельности появились и постепенно накапливались различные правила, связанные с геометрическими измерениями и построениями. Таким образом, геометрия возникла на основе практической деятельности людей и в начале своего развития служила в основном практическим целям. В дальнейшем геометрия сформировалась как самостоятельная наука, занимающаяся изучением геометрических фигур. Примеры геометрических фигур: треугольник, квадрат, окружность.

 Геометрические фигуры бывают весьма разнообразны. Часть любой геометрической фигуры является геометрической фигурой. Объединение нескольких геометрических фигур есть снова геометрическая фигура. На рисунке фигура слева состоит из треугольника и трех квадратов, а фигура справа состоит из окружности и частей окружности. Всякую геометрическую фигуру мы представляем себе составленной из точек.

Геометрия широко применяется на практике. Ее надо знать и рабочему, и инженеру, и архитектору, и художнику. Одним словом, геометрию надо знать всем.